Question

在平面直角坐標系中，△ABC的兩個頂點A、B的坐標分別是（-1，0），（1，0），點G是△ABC的重心，y軸上一點M滿足GM∥AB，且|MC|=|MB|．
（I）求△ABC的頂點C的軌跡E的方程；
（II）不過點A的直線l：y=kx+b與軌跡E交于不同的兩點P、Q，當(dāng)=0時，求k與b的關(guān)系，并證明直線l過定點．

Answer 1

解：（I）設(shè)點C坐標為（x，y）
因為G為△ABC的重心
故G點坐標為（2分）
由點M在y軸上且MG∥AB知點M的坐標為∵|MC|=|MB|∴，
即
∴△ABC的頂點C的軌跡E的方程是（5分）
（II）設(shè)直線的兩交點為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
把聯(lián)立得：
消去y得：（k²+3）x²+2kbx+b²-3=0（7分）
∴△=4k²b²-4（k²+3）（b²-3）=12（k²-b²+3）＞0
且．（9分）
∵
故（k²+1）x₁x₂+（kb+1）（x₁+x₂）+b²=0
代入整理得：k²+kb-2b²=0∴k=b或k=-2b．（10分）
（1）當(dāng)k=b時，y=kx+b=k（x+1）直線過點（-1，0）不合題意舍去．
（2）當(dāng)，直線過點
綜上知：k=-2b，直線過定點（14分）
分析：（I）先設(shè)出點C的坐標，利用G為△ABC的重心找到點G的坐標，再利用點M在y軸上且MG∥AB求出點M的坐標，結(jié)合∵|MC|=|MB|即可找到△ABC的頂點C的軌跡E的方程；
（II）先把直線方程和軌跡E的方程聯(lián)立找到關(guān)于點P和點Q坐標之間的關(guān)系式，再利用=0就可找到k與b的關(guān)系，再反代入直線方程，就可證明直線l過定點．
點評：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關(guān)系以及向量垂直問題．在做第一問時，一定要注意點C不能與AB在一條直線上．