Question

（10分）已知函數(shù)，且 
（1）判斷的奇偶性，并證明；
（2）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）若，求的取值范圍。

Answer 1

(1) 為奇函數(shù)， 證：見解析；
（2）在上的單調(diào)遞增，證明：見解析。（3） .

本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查學生的計算能力，證明函數(shù)的單調(diào)性按照取值、作差、變形定號，下結論的步驟進行．
（1）函數(shù)為奇函數(shù)．確定函數(shù)的定義域，利用奇函數(shù)的定義，即可得到結論；
（2）按照取值、作差、變形定號，下結論的步驟進行證明，作差后要因式分解．
（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，得到不等式的解集。
解 ∵ ，且
∴ ，解得
(1) 為奇函數(shù)，
證：∵ ，定義域為，關于原點對稱…
又
所以為奇函數(shù)
（2）在上的單調(diào)遞增
證明：設，
則
∵
∴  ，
故，即，在上的單調(diào)遞增

又，即，所以可知
又由的對稱性可知 時，同樣成立 ∴