Question

給出下列命題
①“a=3”是“直線ax-2y-1=0與直線6x-4y+c=0平行”的充要條件；
②P：?x∈R，x²+2x+2≤0．則￢P：?x∈R，x²+2x+2＞0；
③函數y=2sin²（x+

π

4

）-cos2x的一條對稱軸方程是x=

3π

8

；
④若a＞0，b＞0，且2a+b=1，則

2

a

+

1

b

的最小值為9．
其中所有真命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：①若p為q的充要條件，則

p⇒q q⇒p

；
②特稱命題的否定為全稱命題；
③將函數整理后得到y=1-

2

2sin（2x-

π

4

），令2x-

π

4

=kπ+

π

2

，解出x后即可判斷x=

3π

8

是否為函數的一條對稱軸方程；
④將2a+b=1整體代換，

2

a

+

1

b

就變?yōu)?span id="m6djo0m" class="MathJye">(2a+b)(

2

a

+

1

b

)，再利用基本不等式求其最小值即可．

解答：解：①由于直線ax-2y-1=0與直線6x-4y+c=0平行，則

a=3 c≠-2

故“a=3”是“直線ax-2y-1=0與直線6x-4y+c=0平行”的既不充分也不必要條件，故①為假命題；
②由于命題P：?x∈R，x2+2x+2≤0．而特稱命題的否定為全稱命題，則￢P：?x∈R，x2+2x+2＞0，故②為真命題；
③由于y=2sin²（x+

π

4

）-cos2x=1-cos（2x+

π

2

）-cos2x=1+sin2x-cos2x=1-sin（2x-

π

4

），
且函數y=sint的對稱軸為t=kπ+

π

2

(k∈Z)，則2x-

π

4

=kπ+

π

2

，解得x=

kπ

2

+

3π

8

（k∈Z），
故x=

3π

8

是函數y=2sin²（x+

π

4

）-cos2x的一條對稱軸方程，即③為真命題；
④由于2a+b=1，則

2

a

+

1

b

=(2a+b)(

2

a

+

1

b

)=5+

2b

a

+

2a

b

≥5+2

2b a × 2a b

=9   （當且僅當a=b=

1

3

時，取“=”）
故

2

a

+

1

b

的最小值為9，故④為真命題．
故答案為 ②③④

點評：本題考查的知識點是，判斷命題真假，我們需對四個結論逐一進行判斷，方可得到正確的結論．