Question

【題目】已知焦點在軸上的拋物線過點，橢圓的兩個焦點分別為，，其中與的焦點重合，過點與的長軸垂直的直線交于，兩點，且，曲線是以坐標原點為圓心，以為半徑的圓.

（1）求與的標準方程；

（2）若動直線與相切，且與交于，兩點，求的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 的標準方程為.的標準方程為.(2)

【解析】

（1）先由已知設(shè)拋物線的方程為，根據(jù)拋物線過點，即可求出拋物線方程，得出坐標，再由題意可得，進而可求出橢圓方程；又曲線是以坐標原點為圓心，以為半徑的圓，根據(jù)坐標坐標得出的值，即可寫出圓的標準方程；

（2）先由直線與相切，得圓心到直線的距離為1，因此，根據(jù)題意分類討論：當直線的斜率不存在和斜率存在兩種情況，結(jié)合韋達定理和弦長公式，分別求出的范圍即可.

解：（1）由已知設(shè)拋物線的方程為，

則，解得，即的標準方程為.

則，不妨設(shè)橢圓的方程為，

由，得，所以，

又，所以，，

故的標準方程為.

易知，所以的標準方程為.

（2）因為直線與相切，所以圓心到直線的距離為1.所以.

當直線的斜率不存在時，其方程為，易知兩種情況所得到的的面積相等.

由，得.

不妨設(shè)，，則，

此時.

當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，

則，即.

由，得，

所以 恒成立.

設(shè)，，

則，.

所以.

令，則，

所以

，

令，則，

易知區(qū)間上單調(diào)遞減，所以.

綜上，的面積的取值范圍為.