Question

已知曲線的方程為，過原點(diǎn)作斜率為的直線和曲線相交，另一個(gè)交點(diǎn)記為，過作斜率為的直線與曲線相交，另一個(gè)交點(diǎn)記為，過作斜率為的直線與曲線相交，另一個(gè)交點(diǎn)記為，如此下去，一般地，過點(diǎn)作斜率為的直線與曲線相交，另一個(gè)交點(diǎn)記為，設(shè)點(diǎn)（）．
（1）指出，并求與的關(guān)系式（）；
（2）求（）的通項(xiàng)公式，并指出點(diǎn)列，，，向哪一點(diǎn)無限接近？說明理由；
（3）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）；（2），；（3）.

試題分析：（1）由于，點(diǎn)，又都是拋物線上的點(diǎn)，代入進(jìn)去變形可得到與的關(guān)系為；（2）由于只要求數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)，因此把（1）中得到的關(guān)系式中分別為代換，得到兩個(gè)等式相減可得與的關(guān)系式，用累加法可求得通項(xiàng)公式，當(dāng)時(shí)，，即得極限點(diǎn)為；（3）求出，是一個(gè)等比數(shù)列，其，于是，要比較與的大小，只要比較與的即可，可計(jì)算前幾個(gè)數(shù)，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，可以歸納出結(jié)論，時(shí)有，這個(gè)可用二項(xiàng)式定理證明，，由于，展開式中至少有4項(xiàng)，因此.
試題解析：（1）．                         （1分）
設(shè)，，由題意得 ．     （2分）
                      （4分）
（2）分別用、代換上式中的n得
 ()       （6分）
又，，              （8分）
因，所以點(diǎn)列，， ，， 向點(diǎn)無限接近.     （10分）
（3），．     （12分）
，只要比較．  （13分）
 （15分）
當(dāng)n=1時(shí)，                            （16分）
當(dāng)n=2時(shí)，                            （17分）
當(dāng)n>2時(shí)，．                          （18分）