Question

（2006•海淀區(qū)二模）如圖，雙曲線C的中心在原點，虛軸兩端點分別為B₁、B₂，左頂點和左焦點分別為A、F，若

AB2

⊥

FB1

，則雙曲線C的離心率為

5 +1

2

．

Answer 1

分析：設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，可得A、F、B₁和B₂各點的坐標(biāo)，由

AB2

⊥

FB1

得

AB2

•

FB1

=0，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式得到ac-b²=0，結(jié)合b²=c²-a²和離心率公式，化簡得離心率e的方程，即可解出該雙曲線的離心率．

解答：解：由題意，設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
可得A（-a，0），F(xiàn)（-c，0），B₁（0，b），B₂（0，-b）
∵

AB2

=(a，-b)，

FB1

=(c，b)
∴由

AB2

⊥

FB1

得

AB2

•

FB1

=0，即ac-b²=0
可得b²=ac，即c²-ac-a²=0，兩邊都除以a²可得e²-e-1=0
解之得e=

5 +1

2

（舍負(fù)）
故答案為：

5 +1

2

點評：本題給出雙曲線方程，在已知向量垂直的情況下求離心率．著重考查了平面向量數(shù)量積公式和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．