Question

設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的兩點，

m

=（

x1

b

，

y1

a

），

n

=（

x2

b

，

y2

a

），且

m

•

n

=0，橢圓離心率e=

3

2

，短軸長為2，O為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓方程；
（2）若存在斜率為k的直線AB過橢圓的焦點F（0，c）（c為半焦距），求k的值；
（3）試問△AOB的面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析：（1）依題意可求得b，進而根據(jù)離心率求得a，則橢圓方程可得．
（2）設(shè)AB方程為y=kx+

3

，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理及

m

•

n

=0，即可求得k的值；
（3）當(dāng)A為頂點時，B必為頂點，則△AOB的面積是1；當(dāng)A，B不為頂點時，設(shè)AB方程為y=kx+m與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理及

m

•

n

=0，可得2m²-k²=4，從而可得結(jié)論．

解答：解：（1）∵橢圓離心率e=

3

2

，短軸長為2，∴

c

a

=

3

2

，b=1，解得a=2，b=1
∴所求橢圓方程為

y2

4

+x2=1；
（2）設(shè)AB方程為y=kx+

3

，與橢圓方程聯(lián)立，消元可得（k²+4）x²+2

3

kx-1=0
∴x1+x2=

-2 3 k

k2+4

，x1x2=

-1

k2+4

由已知

m

=（

x1

b

，

y1

a

），

n

=（

x2

b

，

y2

a

），且

m

•

n

=0，∴

x1x2

b2

+

y1y2

a2

=0
∴x1x2+

1

4

(kx1+

3

)（kx2+

3

）=0
∴k=±

2

（3）當(dāng)A為頂點時，B必為頂點，則△AOB的面積是1；
當(dāng)A，B不為頂點時，設(shè)AB方程為y=kx+m
與橢圓方程聯(lián)立，消元可得（k²+4）x²+2kmx+m²-4=0
∴x1+x2=

-2mk

k2+4

，x1x2=

m2-4

k2+4

∵

m

•

n

=0，∴x1x2+

1

4

(kx1+m)（kx₂+m）=0
∴2m²-k²=4
∴△AOB的面積是

1

2

|m||x₁-x₂|=

|m| 4k2-4m2+16

k2+4

=

4m2

2|m|

=1．
∴三角形的面積為定值1．

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．