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        1. 已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,其中a∈N*,b∈N,c∈Z.
          (1)若b>2a,且f(sinα)(α∈R)的最大值為2,最小值為-4,求f(x)的最小值;
          (2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式4x≤f(x)≤2(x2+1),且存在x0使得f(x0)<2(x02+1)成立,求c的值.
          分析:(1)先由題找到x∈[-1,1],f(x)max=2,f(x)min=-4再利用a∈N*,b∈N和b>2a,判斷出函數(shù)在x∈[-1,1]上遞增,再利用f(sinα)(α∈R)的最大值為2,最小值為-4,求出a,b,c.在利用配方法求出f(x)的最小值;
          (2)先由4≤f(1)≤4找到a+b+c=4①,再f(x)≥4x恒成立?△=(b-4)2-4ac≤0②,和f(x)≤2(x2+1)的結(jié)合求出a=1,c=1.(注意對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論).
          解答:解:(1)據(jù)題意x∈[-1,1]時(shí),f(x)max=2,f(x)min=-4,(1分)
          f(x)=a(x+
          b
          2a
          )2+c-
          b2
          4a

          ∵b>2a>0,∴-
          b
          2a
          <-1
          ,
          ∴f(x)在[-1,1]上遞增,
          ∴f(x)min=f(-1),f(x)max=f(1),(3分)
          a+b+c=2
          a-b+c=-4
          ,∴b=3,a+c=-1,(5分)
          ∵b>2a,∴a<
          3
          2
          ,又a∈N*,∴a=1,∴c=-2,(7分)
          f(x)=x2+3x-2=(x+
          3
          2
          )2-
          17
          4

          f(x)min=-
          17
          4
          .(8分)
          (2)由已知得,4≤f(1)≤4,∴f(1)=4,即a+b+c=4①,(9分)
          ∵f(x)≥4x恒成立,∴ax2+(b-4)x+c≥0恒成立,
          ∴△=(b-4)2-4ac≤0②,(11分)
          由①得b-4=-(a+c),代入②得(a-c)2≤0,∴a=c,(13分)
          由f(x)≤2(x2+1)得:(2-a)x2-bx+2-c≥0恒成立,
          若a=2,則b=0,c=2,∴f(x)=2(x2+1),
          不存在x0使f(x0)<2(x02+1),與題意矛盾,(15分)
          ∴2-a>0,∴a<2,又a∈N*
          ∴a=1,c=1.(16分)
          點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,以及恒成立問題,是道綜合題關(guān)于給定解析式的二次函數(shù)在固定閉區(qū)間上的最值問題,一般根據(jù)是開口向上的二次函數(shù)離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越小,離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越大;開口向下的二次函數(shù)離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越大,離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          a-x2
          x
          +lnx  (a∈R , x∈[
          1
          2
           , 2])

          (1)當(dāng)a∈[-2,
          1
          4
          )
          時(shí),求f(x)的最大值;
          (2)設(shè)g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)圖象上不同兩點(diǎn)的連線的斜率,否存在實(shí)數(shù)a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2009•海淀區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=a-2x的圖象過原點(diǎn),則不等式f(x)>
          34
          的解集為
          (-∞,-2)
          (-∞,-2)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a|x|的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,3),解不等式f(
          2x
          )>3

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a•2x+b•3x,其中常數(shù)a,b滿足a•b≠0
          (1)若a•b>0,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
          (2)若a=-3b,求f(x+1)>f(x)時(shí)的x的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=a-2|x|+1(a≠0),定義函數(shù)F(x)=
          f(x)   ,  x>0
          -f(x) ,    x<0
           給出下列命題:①F(x)=|f(x)|; ②函數(shù)F(x)是奇函數(shù);③當(dāng)a<0時(shí),若mn<0,m+n>0,總有F(m)+F(n)<0成立,其中所有正確命題的序號(hào)是
           

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          同步練習(xí)冊(cè)答案