Question

已知無窮數(shù)列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_m是首項為10，公差為-2的等差數(shù)列；a_m+1，a_m+2，…a_2m是首項為

1

2

，公比為

1

2

的等比數(shù)列（m≥3，m∈N^*），并對任意n∈N^*，均有a_n+2m=a_n成立．
（1）當m=12時，求a₂₀₁₀；
（2）若a52=

1

128

，試求m的值；
（3）判斷是否存在m，使S_128m+3≥2010成立，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由a_n+24=a_n，知a₂₀₁₀=a₁₈，a₁₈是以

1

2

為首項，以

1

2

為公比的等比數(shù)列的第6項，所以a2010=

1

64

．
（2）由

1

128

=(

1

2

)7，知m≥7，由a52=

1

128

，知2km+m+7=（2k+1）m+7=52，由此入手可求出m可取9、15、45．
（3）由S128m+3=64S2m+a1+a2+a3=64(10m+

m(m-1)

2

(-2)+

1 2 (1-( 1 2 )m)

1- 1 2

)+10+8+6，知S128m+3=704m-64m2+88-64(

1

2

)m≥2010，704m-64m2≥2010-88+64(

1

2

)m=1922+64(

1

2

)m．設(shè)f（m）=704m-64m²，g(m)=1922+64(

1

2

)m＞1922；f（m）=-64（m²-11m），f（x）_max=f（5）=f（6）=1920，所以不存在這樣的m．

解答：（1）a_n+24=a_n；所以a₂₀₁₀=a₁₈（2分）
a₁₈是以

1

2

為首項，以

1

2

為公比的等比數(shù)列的第6項，
所以a2010=

1

64

（4分）

（2）

1

128

=(

1

2

)7，所以m≥7（5分）
因為a52=

1

128

，所以2km+m+7=（2k+1）m+7=52，其中m≥7，m∈N，k∈N（6分）
（2k+1）m=45，
當k=0時，m=45，成立．
當k=1時，m=15，成立；
當k=2時，m=9成立（9分）
當k≥3時，m≤

45

7

＜7；
所以m可取9、15、45（10分）

（3）S128m+3=64S2m+a1+a2+a3=64(10m+

m(m-1)

2

(-2)+

1 2 (1-( 1 2 )m)

1- 1 2

)+10+8+6（12分）S128m+3=704m-64m2+88-64(

1

2

)m≥2010
704m-64m2≥2010-88+64(

1

2

)m=1922+64(

1

2

)m
設(shè)f（m）=704m-64m²，g(m)=1922+64(

1

2

)m（14分）
g（m）＞1922；
f（m）=-64（m²-11m），對稱軸m=

11

2

∉N*，
所以f（m）在m=5或6時取最大f（x）_max=f（5）=f（6）=1920，
因為1922＞1920，所以不存在這樣的m（16分）

點評：本題考查數(shù)列的不等式的綜合應(yīng)用，解題時要認真審題，注意計算能力的培養(yǎng)．