Question

定義在R₊上的函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b∈R₊，均有f（ab）=f（a）+f（b）成立，且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0．
（1）求f（1）
（2）求證：f（x）為減函數(shù)．
（3）當(dāng)f（4）=-2時(shí)，解不等式f（x-3）+f（5）≥-1．

Answer 1

分析：（1）利用抽象解析式求函數(shù)值f（1），可利用賦值法，令a=b=1．
（2）證明單調(diào)性，利用定義設(shè)出x₁＜x₂，關(guān)鍵是利用f（ab）=f（a）+f（b），構(gòu)造出f（x₂）-f（x₁）的式子，可得f（x₂）-f（x₁）=f(

x2

x1

)，從而可得證明結(jié)果．
（3）的求解要充分利用（2）的結(jié)論，脫去函數(shù)符號(hào)以及得出-1=f（2），進(jìn)而轉(zhuǎn)化為不等式組求解是關(guān)鍵所在．

解答：解：（1）由題意令a=b=1得，
f（1×1）=f（1）+f（1），
得f（1）=0．
（2）設(shè)x₁，x₂∈R₊，x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，
所以f(

x2

x1

)＜0，
故f（x₂）=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f（x₁），
所以f（x₂）-f（x₁）=f(

x2

x1

)＜0，
 所以f（x₂）＜f（x₁），從而f（x）為R₊上的減函數(shù)．
（3）由已知f（4）=f（2•2）=f（2）+f（2）=-2，得f（2）=-1，
所以原不等式化為：f（（x-3）•5）≥f（2），
又有（2）的結(jié)論可得：

x-3＞0 5＞0 5(x-3)≤2

，
解之得：3＜x≤

17

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的概念，函數(shù)的求值，單調(diào)性的判斷與證明，注重考查了抽象函數(shù)的概念，解抽象不等式問(wèn)題．