Question

【題目】若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)，f（a）<0，f（b）>0，且f（x）在[a，b]上單調(diào)遞增，求證：f（x）在（a，b）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】證明：由于f（x）在[a，b]上的圖象連續(xù)，且f（a）<0，f（b）>0，即f（a）·f（b）<0，

所以f（x）在（a，b）內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為m，則f（m）＝0，

假設(shè)f（x）在（a，b）內(nèi)還存在另一個(gè)零點(diǎn)n，即f（n）＝0，則n≠m.

若n>m，則f（n）>f（m），即0>0，矛盾；若n<m，則f（n）<f（m），即0<0，矛盾．

因此假設(shè)不成立，即f（x）在（a，b）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)．