Question

已知不等式|1－kxy|＞|kx－y|.
（1）當k=1，y=2時，解關于x的不等式|1－kxy|＞|kx－y|;
（2）若不等式|1－kxy|＞|kx－y|對任意滿足|x|＜1，|y|＜1的實數(shù)x,y恒成立，求實數(shù)k的取值范圍

Answer 1

(1) x∈(－∞,－1) ∩(1,+ ∞).
(2) k∈[－1,1]

（1）當k=1,y=2時，不等式|1－kxy|＞|kx－y|即為|1－2x|＞|x－2|.
所以1－4x+4x2＞x2－4x+4x2＞1,所以x∈(－∞,－1) ∩(1,+ ∞).        (5分)
（2）由已知得|1－kxy|＞|kx－y||1－kxy|2＞|kx－y|21+k2x2y2＞k2x2+y2,
即（k2x2－1）(y2－1) ＞0對任意滿足|x|＜1,|y|＜1的實數(shù)x,y恒成立.         
而y2＜1,所以y2－1＜0,故（k2x2－1）(y2－1) ＞0k2x2－1＜0.
于是命題轉化為k2x2－1＜0對任意滿足|x|＜1的實數(shù)x恒成立.　 （8分） 
當x=0時，易得k∈R;
當x≠0時，有k2＜對任意滿足|x|＜1，x≠0的實數(shù)x恒成立.
由0＜|x|＜10＜x2＜1∈(1,+ ∞),所以k2≤1.
綜合以上得k∈[－1,1]即為所求的取值范圍.