Question

設(shè)a＞0,函數(shù)f(x)=,b為常數(shù).

（1）證明：函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)各有一個；

（2）若函數(shù)f(x）的極大值為1，極小值為-1，試求a的值.

Answer 1

（1）證明見解析（2）a=2

解析:

（1）f′(x)=,

令f′(x)=0,得ax²+2bx-a=0                                                                      (*)

∵Δ=4b²+4a²＞0,

∴方程（*)有兩個不相等的實(shí)根，記為x₁,x₂(x₁＜x₂),

則f′(x)=,

當(dāng)x變化時，f′(x）與f(x）的變化情況如下表：

         

x	(-∞,x1)	x1	(x1 ,x2)	x2	(x2 ,+ ∞)
	-	0	+	0	-
f (x)		極小植		極大值

?可見，f(x)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)各有一個.

（2）  由（1）得

即

兩式相加，得a(x₁+x₂)+2b=x-x.

∵x₁+x₂=-,∴x-x=0,

即(x₂+x₁)(x₂-x₁)=0,

又x₁＜x₂,∴x₁+x₂=0,從而b=0,

∴a（x²-1）=0，得x₁=-1,x₂=1,

由②得a=2.