Question

（08年重慶卷理）（本小題滿分13分，（Ⅰ）小問6分，（Ⅱ）小問7分.）

如題（19）圖，在中，B=,AC=,D、E兩點(diǎn)分別在AB、AC上.使

,DE=3.現(xiàn)將沿DE折成直二角角，求：

（Ⅰ）異面直線AD與BC的距離；

（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函數(shù)表示）.

Answer 1

【標(biāo)準(zhǔn)答案】　　解法一：

　�。á瘢┰诖穑�19）圖1中，因，故BE∥BC.又因B＝90°，從而

AD⊥DE.

在第（19）圖2中，因A-DE-B是直二面角，AD⊥DE,故AD⊥底面DBCE，從

而AD⊥DB.而DB⊥BC,故DB為異面直線AD與BC的公垂線.

下求DB之長(zhǎng).在答（19）圖1中，由，得

又已知DE=3,從而

    

因

（Ⅱ）在第（19）圖2中，過D作DF⊥CE,交CE的延長(zhǎng)線于F，連接AF.由（1）知，

AD⊥底面DBCE,由三垂線定理知AF⊥FC,故∠AFD為二面角A-BC-B的平面

角.

在底面DBCE中，∠DEF=∠BCE,

因此

從而在Rt△DFE中，DE=3,

在

因此所求二面角A-EC-B的大小為arctan

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）如答（19）圖3.由（Ⅰ）知，

以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?I>x、

y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（0，0，4），

，E（0，3，0）.

過D作DF⊥CE,交CE的延長(zhǎng)線于F，連接AF.

設(shè)從而

   ，有

         ①

   又由       ②

   聯(lián)立①、②，解得

   因?yàn)?IMG height=45 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090321/20090321083806024.gif' width=247>,故,又因,所以為所求的二面角A-EC-B的平面角.因有所以

   因此所求二面角A-EC-B的大小為

 

【高考考點(diǎn)】本題主要考查直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系、異面直線間的距離等知識(shí)，考查空間想象能力和思維能力，利用綜合法或向量法解決立體幾何問題的能力。

【易錯(cuò)提醒】

【備考提示】立體幾何中的平行、垂直、二面角是考試的重點(diǎn)。