Question

試用兩種方法證明：
（1）；
（2）．

Answer 1

方法一：用組合數(shù)的公式證明，方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明

試題分析：（1）證明：方法1  由
令，得.               3分
方法2  數(shù)學(xué)歸納法
①當(dāng)時(shí)，顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，由
所以，


由①②，等式對(duì)于任意恒成立.
7分
方法3 含個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)按兩種方式計(jì)算可證
（方法1給4分，其他方法6分）
（2）方法1
先證.
，（注意）
，
所以。                          9分
所以
          11分
方法2   由，
兩邊求導(dǎo)，得，        14分
令，得.       15分
點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的重要方法，另外關(guān)于組合數(shù)的等式常常利用組合數(shù)的性質(zhì)證明