Question

設(shè)b＞0,橢圓方程為=1,拋物線方程為x²=8(y-b).如圖4所示,過點(diǎn)F(0,b+2)作x軸的平行線,與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為G.已知拋物線在點(diǎn)G的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F₁.

圖4

(1)求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程.

(2)設(shè)A、B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn),試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得△ABP為直角三角形?若存在,請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)?并說明理由(不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)).

Answer 1

解:(1)由,

易得點(diǎn)G的坐標(biāo)為(4,b+2),

拋物線在點(diǎn)G處的切線斜率為k=

拋物線在點(diǎn)G處的切線方程為x-4=即y=x+b-2,

又F₁的坐標(biāo)為(b,0),4b=8(-b),

∴b=1.

橢圓方程為+y²=1,拋物線的方程為x²=8(y-1).

(2)共有四個(gè)點(diǎn).

分別過A、B作x軸的垂線交拋物線于P₁、P₂,

則得到兩個(gè)直角三角形△ABP₁、△ABP₂.

以AB為直徑的圓顯然與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)P₃、P₄,

則又得到兩個(gè)直角三角形△ABP₃、△ABP₄.

因?yàn)镻₁A與圓相切于點(diǎn)A，而P₃在圓周上，

所以P₃與P₁不重合，同理P₄與P₂不重合.

故P₁、P₂、P₃和P₄是兩兩互不相同的點(diǎn)。