Question

已知二次函數(shù)同時(shí)滿足：①不等式的解集有且只有一個(gè)元素；②在定義域內(nèi)存在，使得不等式成立。設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和。

（1）求函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列中，所有滿足的整數(shù)i的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的變號(hào)數(shù)。令（n為正整數(shù)），求數(shù)列的變號(hào)數(shù)。

Answer 1

解：（1）的解集有且只有一個(gè)元素，

當(dāng)a=4時(shí)，函數(shù)上遞減，

故存在，使得不等式成立

當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)上遞增

故不存在，使得不等式成立

綜上，得a=4，

（2）由（1）可知

當(dāng)n=1時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

 

（3）由題設(shè)，

遞增，

即時(shí)，有且只有1個(gè)變號(hào)數(shù)；

又

∴此處變號(hào)數(shù)有2個(gè)。

綜上得數(shù)列的變號(hào)數(shù)為3。