Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與圓交于A、B兩點(diǎn)，AB恰是該圓的直徑，且AB斜長(zhǎng)為，求此橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)圓的方程配方得出圓心坐標(biāo)和直徑，將直線的方程與橢圓的方程組成方程組，消去y得到關(guān)于x的方程，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的表達(dá)式，最后根據(jù)聯(lián)立的方程求出其a，b即可求橢圓的方程．
解答：解：圓（x-2）²+（y-1）²=，直徑AB=
設(shè)橢圓：（a＞b＞0），
又設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB中點(diǎn)（2，1）
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
AB斜率為，∴K_AB=
由
將直線AB的方程y=-x+2，代入橢圓方程得：x²+4y²-4b²=0
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=8-2b²，
|AB|=|x₁-x₂|，∴10=（1+）²[4²-4（8-2b²）]
解得：a²=12，b²=3，
故橢圓的方程為：+=1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等．