Question

在數(shù)列{a_n}中，如果存在正整數(shù)T，使得a_m+T=a_m對(duì)任意的非零自然數(shù)m都成立，那么稱數(shù)列{a_n}為周期數(shù)列，其中T稱為數(shù)列{a_n}的周期．已知數(shù)列{x_n}滿足x_n+1=|x_n-x_n-1|（n≥2，n∈N*），如果x₁=

1

2

，x₂=a（a∈R，a≠0），當(dāng)數(shù)列{x_n}的周期最小時(shí)，該數(shù)列的前2009項(xiàng)和為

670

．

Answer 1

分析：首先要根據(jù)題意中所說的周期數(shù)列的定義，針對(duì)題目中的數(shù)列的周期情況分類討論，從而將a值確定，進(jìn)而將數(shù)列的前2 009項(xiàng)和確定．

解答：解：若數(shù)列的周期為1，則a=

1

2

，此時(shí)該數(shù)列為：

1

2

，

1

2

，0，

1

2

，

1

2

，0…是以3為周期的數(shù)列，不符合題意
若數(shù)列的周期為2，則x3=x1=

1

2

，由x3=|a-

1

2

|=

1

2

可得a=1，a=0（舍）
此時(shí)該數(shù)列的項(xiàng)為：

1

2

，1，

1

2

，

1

2

，0，

1

2

，

1

2

，0，不符合題意
∴數(shù)列的最小周期為3，此時(shí)a=

1

2

，此時(shí)該數(shù)列的項(xiàng)為：

1

2

，

1

2

，0，

1

2

，

1

2

，0…
S2009=669(

1

2

+

1

2

+0)+

1

2

+ 

1

2

=670
故答案為：670

點(diǎn)評(píng)：此題考查對(duì)新概念的理解以及分析問題的能力．解題的關(guān)鍵是確定周期取得最小值時(shí)的a的值，以確定數(shù)列的各項(xiàng)