Question

【題目】已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)P在C上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)分別為橢圓C的左右焦點(diǎn)，過的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，求△的內(nèi)切圓的半徑的最大值.

Answer 1

【答案】（1） ；(2) 最大值為.

【解析】

(1) 根據(jù)離心率為，點(diǎn)在橢圓上，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、 ，即可得結(jié)果；（2）可設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，可得，結(jié)合韋達(dá)定理、弦長公式，利用三角形面積公式可得，換元后利用導(dǎo)數(shù)可得的最大值為，再結(jié)可得結(jié)果.

（1）依題意有，解得，

故橢圓的方程為.

（2）設(shè)，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，

的周長為，

，

根據(jù)題意知，直線的斜率不為零，

可設(shè)直線的方程為，

由，得，

，

由韋達(dá)定理得，

，

令，則，，

令，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，

，

即當(dāng)時(shí)，的最大值為，此時(shí)，

故當(dāng)直線的方程為時(shí)，內(nèi)切圓半徑的最大值為.