Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)，且f(2)＝.

(1)求實數(shù)m和n的值；

(2)判斷函數(shù)f(x)在(－∞，0)上的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）實數(shù)m和n的值分別是2和0（2）在(－∞，－1]上為增函數(shù)，在(－1,0)上為減函數(shù)．

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)奇函數(shù)定義得f(－x)＝－f(x)，解得n＝0.再由f(2)＝得m＝2，（2）利用單調(diào)性定義，先作差，因式分解變形成因子形式，再根據(jù)各因子符號確定差的符號，最后根據(jù)符號關(guān)系確定單調(diào)性

試題解析：解：(1)∵f(x)是奇函數(shù)，

∴f(－x)＝－f(x)，

即＝－＝.

比較得n＝－n，則n＝0.

又∵f(2)＝，

∴＝，

解得m＝2，故實數(shù)m和n的值分別是2和0.

(2)函數(shù)f(x)在(－∞，－1]上為增函數(shù)，在(－1,0)上為減函數(shù)．

證明如下：由(1)可知f(x)＝＝＋.

設(shè)x1<x2<0，

則f(x1)－f(x2)＝ (x1－x2)＝

(x1－x2)·.

當x1<x2≤－1時，x1－x2<0，x1x2>0，x1x2－1>0，

則f(x1)－f(x2)<0，

即f(x1)<f(x2)．

故函數(shù)f(x)在(－∞，－1]上為增函數(shù)；

當－1<x1<x2<0時，

x1－x2<0，x1x2>0，x1x2－1<0.

則f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．

故函數(shù)f(x)在(－1,0)上為減函數(shù)．