Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x（e是自然對數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Π）不等式f（x）＞ax的解集為P，若M={x|

1

2

≤x≤2}，且M∩P≠∅，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）已知n∈N+，且Sn=

∫

n 0

f(x)dx，是否存在等差數(shù)列a_n和首項為f（1）公比大于0的等比數(shù)列b_n，使數(shù)列a_n+b_n的前n項和等于S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導f'（x）=e^x-1由f'（x）=0，解得x=0，易知當x＞0時，f'（x）＞0當x＜0時，f'（x）＜0故f（x）在x=0處取得最小值．
（Ⅱ）M∩P≠∅，即不等式f（x）＞ax在區(qū)間[

1

2

，2]有解，轉(zhuǎn)化為a＜

ex

x

-1在區(qū)間[

1

2

，2]有解，只要求得g(x)=

ex

x

-1，x∈[

1

2

，2]的最大值即可．
（Ⅲ）先設存在公差為d首項等于f（1）的等差數(shù)列a_n和公比q大于0的等比數(shù)列b_n，使得數(shù)列a_n+b_n的前n項和等于S_n
由Sn=

∫

n 0

f(x)dx=ex-

1

2

n2，再由數(shù)列通項與前n項和之間的關(guān)系求解，若能求和d和q則為存在，否則為不存在．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=e^x-1
由f'（x）=0，解得x=0
當x＞0時，f'（x）＞0
當x＜0時，f'（x）＜0
故f（x）在（-∞，+∞）連續(xù)，故f_min（x）=f（0）=1
（Ⅱ）∵M∩P≠∅，即不等式f（x）＞ax在區(qū)間[

1

2

，2]有解，
f（x）＞ax可化為（a+1）x＜e^x只需a＜

ex

x

-1在區(qū)間[

1

2

，2]有解
令g(x)=

ex

x

-1，x∈[

1

2

，2]
即a＜g_max（x）∵g′(x)=

(x-1)ex

x2

故g（x）在區(qū)間[

1

2

，1]遞減，在區(qū)間[1，2]遞增
又g(

1

2

)=2

e

-1
g(2)=

1

2

e2-1，且g(2)＞g(

1

2

)
∴gmax=(x)=g(2)=

1

2

e2-1
所以，實數(shù)a的取值范圍為(-∞，

1

2

e2-1)

（Ⅲ）設存在公差為d首項等于f（1）的等差數(shù)列a_n
和公比q大于0的等比數(shù)列b_n，使得數(shù)列a_n+b_n的前n項和等于S_n
∵Sn=

∫

n 0

f(x)dx=en-

1

2

n2-1
b₁=f（1）=e-1
∴a1+b1=S1=e-

1

2

-1，故a1=-

1

2

又n≥2a_n+b_n=S_n-S_n-1=e^n-1（e-1）-

2n-1

2

故n=2，3，有

- 1 2 +d+(e-1)q=e(e-1)- 3 2 1 2 +2d+(e-1)q2=e2(e-1)- 5 2

即d+（e-1）q=e（e-1）-1①2d+（e-1）q²=e²（e-1）-2②
②-①×2得q²-2q=e²-2e解得；q=e或q=2-e（舍去）
故q=e，d=-1
此時，an=-

2n-1

2

，bn=(e-1)ex-1數(shù)列a_n+b_n的前n項和等于

n(a1+an)

2

+

b1(1-qn)

1-q

=-

1

2

n2+

(e-1)(1-ex)

1-e

=-

1

2

n2+ex-1=S
故存在滿足題意的等差數(shù)列a_n金額等比數(shù)列b_n，使得數(shù)列a_n+b_n的前n項和等于S_n

點評：本題主要考查用導數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路是：當函數(shù)為增函數(shù)時，導數(shù)大于等于零；當函數(shù)為減函數(shù)時，導數(shù)小于等于零，還考查了不等式有解或恒成立問題，以及數(shù)列的通項與前n項和及其關(guān)系．