Question

設(shè)函數(shù)，其中。

（I）解不等式；

（II）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)。

Answer 1

本小題主要考查不等式的解法、函數(shù)的單調(diào)性等基本知識(shí)，分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和運(yùn)算、推理能力.

（Ⅰ）解：不等式f（x）≤1即≤1＋ax，

由此得1≤1＋ax，即ax≥0，其中常數(shù)a＞0，

所以，原不等式等價(jià)于,

即　                

所以，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，所給不等式的解集為｛x｜0≤x≤｝;

當(dāng)a≥1時(shí)，所給不等式的解集為｛x｜x≥0｝.    

 （Ⅱ）證明：在區(qū)間［0，＋∞）上任取x₁，x₂使得 x₁＜x₂.

f（x₁）－f（x₂）＝－－a（x₁－x₂）

 ＝－a（x₁－x₂）

 ＝（x₁－x₂）（－a）.        

 ∵＜1，且a≥1，

∴－a＜0.

又　x₁－x₂＜0，

∴f（x₁）－f（x₂）＞0，

即　f（x₁）＞f（x₂）.

所以，當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間［0，＋∞）上是單調(diào)遞減函數(shù).