Question

已知點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)是以點(diǎn)為圓心，4為半徑的上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與線段交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，

求拋物線和曲線的方程；

是否存在直線，使得直線分別與拋物線及曲線均只有一個(gè)公共點(diǎn)，若存在，求出所有這樣的直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解:（1）依題意,，拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,則，

    所以拋物線的方程為，

由于，即，而線段的垂直平分線與線段交于點(diǎn)，則

因此，，且，則點(diǎn)的軌跡為以、為焦點(diǎn)的橢圓，

設(shè)的方程為，則，且，解得，，

所求曲線的方程為

（2）若直線的斜率不存在，則直線，與拋物線及曲線均只有一個(gè)

    公共點(diǎn)，

若直線斜率存在，設(shè)其方程為，若與拋物線及曲線均只有一個(gè)公共點(diǎn)，

則及均只有一組解，  

   由消去得 , 則 ①   

   由消去得 ,

   則，即②      

   由①②得，

   即存在直線與拋物線及曲線均只有一個(gè)公共點(diǎn)，  

   綜上：存在四條直線,與拋物線及曲線均只有一個(gè)公共點(diǎn)．