Question

橢圓上有兩點(diǎn)P，Q，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若OP，OQ的斜率之積為-．
（1）求證：|OP|²+|OQ|²是定值．
（2）求PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

（1）證明：設(shè)P（4cosα，2sinα），Q（4cosβ，2sinβ）．
∵OP，OQ的斜率之積為-，
∴
∴cos（α-β）=0，
∴α-β=2kπ±，k∈Z．
∴|OP|²+|OQ|²=16（cosα）²+4（sinα）²+16（cosβ）²+4（sinβ）²=20（cosβ）²+20（sinβ）²=20為定值；
（2）解：設(shè)M（x，y），則x=2cosα+2cosβ，即=cosα+cosβ①，y=sinα+sinβ②
∴①²+②²可得：=2，即．
分析：（1）利用參數(shù)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)OP，OQ的斜率之積為-，可得α-β=2kπ±，進(jìn)而可得|OP|²+|OQ|²是定值；
（2）確定PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，消去參數(shù)，即可求得PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查軌跡方程，考查參數(shù)的運(yùn)用，正確設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．