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        1. 已知橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          (a>b>0)的左頂點和右焦點分別為A,F(xiàn),右準線為直線m,圓D:x2+y2-6y-4=0.
          (1)若點A在圓D上,且橢圓C的離心率為
          3
          2
          ,求橢圓C的方程;
          (2)若直線m上存在點Q,使△AFQ為等腰三角形,求橢圓C的離心率的取值范圍;
          (3)若點P在(1)中的橢圓C上,且過點P可作圓D的兩條切線,切點分別為M、N,求弦長MN的取值范圍.
          (1)對x2+y2-6y-4=0,令y=0,則x=±2.
          所以,A(-2,0),a=2(2分)
          又因為,e=
          c
          a
          =
          3
          2
          ,
          所以,c=
          3
          ,(3分)
          b2=a2-c2=1(4分)
          所以,橢圓C的方程為:
          x2
          4
          +y2=1
          .(5分)
          (2)由圖知△AFQ為等腰三角形a+c=AF=QF>
          a2
          c
          -c
          (7分)
          所以,2c2+ac-a2>0,2e2+e-1>0,(2e-1)(e+1)>0
          又0<e<1,
          所以
          1
          2
          <e<1
          ,即橢圓離心率取值范圍為(
          1
          2
          ,1)
          .(10分)
          (3)連PD交MN于H,連DM,則由圓的幾何性質(zhì)知:H為MN的中點,DM⊥PM,MN⊥PD.
          所以,MN=2MH=
          2MD•MP
          PD
          =
          2MD
          PD2-MD2
          PD

          =2MD•
          1-
          MD2
          PD2

          ⊙D:x2+(y-3)2=13,MD=
          13

          所以,MN=2
          13
          1-
          13
          PD2
          (13分)
          設(shè)P(x0,y0),則
          x02
          4
          +y02=1
          且-1≤y0<0
          所以,PD2=x02+(y0-3)2=-3y02-6y02+13=-3(y0+1)2+16(-1≤y0<0)
          所以,13<PD2≤16(15分)
          所以,O<MN≤
          39
          2
          .(16分)
          練習冊系列答案
          相關(guān)習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的離心率為
          1
          2
          ,且經(jīng)過點P(1,
          3
          2
          )

          (1)求橢圓C的方程;
          (2)設(shè)F是橢圓C的左焦,判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系,并說明理由.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)的短軸長為2
          3
          ,右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合,O為坐標原點.
          (1)求橢圓C的方程;
          (2)設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點,點D(-4,0),且滿足
          DA
          DB
          ,若λ∈[
          3
          8
          1
          2
          ],求直線AB的斜率的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)經(jīng)過點A(1,
          3
          2
          ),且離心率e=
          3
          2

          (Ⅰ)求橢圓C的方程;
          (Ⅱ)過點B(-1,0)能否作出直線l,使l與橢圓C交于M、N兩點,且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O.若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2012•房山區(qū)二模)已知橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1
          (a>b>0)的長軸長是4,離心率為
          1
          2

          (Ⅰ)求橢圓方程;
          (Ⅱ)設(shè)過點P(0,-2)的直線l交橢圓于M,N兩點,且M,N不與橢圓的頂點重合,若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A,求直線l的方程.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的短軸長為2,離心率為
          2
          2
          ,設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A,B,過A,B作直線x=2的垂線AP,BQ,垂足分別為P,Q.記λ=
          AP+BQ
          PQ
          ,若直線l的斜率k≥
          3
          ,則λ的取值范圍為
           

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          同步練習冊答案