Question

已知數(shù)列{a_n}，其中a₁=1，a₂=3，2a_n=a_n+1+a_n-1，（n≥2）記數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{lnS_n}的前n項和為U_n．
（Ⅰ）求U_n；
（Ⅱ）設(shè)，，（其中F_k¹（x）為F_k（x）的導(dǎo)函數(shù)），計算．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由遞推關(guān)系知數(shù)列為等差數(shù)列，有等差數(shù)列前n項和公式求得Sn，進(jìn)而求對數(shù)得解．
（Ⅱ）利用數(shù)列{lnS_n}的前n項和U_n，求得Fn（x），再利用導(dǎo)數(shù)公式求得F_n¹（x），進(jìn)而求和Tn（x），最后求極限得解．
解答：解：（Ⅰ）由題意，{a_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列
前n項和，
lnS_n=lnn²=2lnnU_n=2（ln1+ln2++lnn）=2ln（n!）
（Ⅱ）F_n′（x）=x^2n-1

點評：本題主要考查等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識，以及對數(shù)運算、導(dǎo)數(shù)運算和極限運算的能力，是一道綜合性較強的題目：注意：
（1）等差數(shù)列的判斷方法要熟練．
（2）正確求導(dǎo)，求極限是關(guān)鍵．