Question

在△ABC中，tanB+tanC+

3

tanBtanC=

3

，又

3

tanA+

3

tanB+1=tanAtanB，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：把已知的兩等式變形后，根據(jù)兩角和的正切函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，分別根據(jù)A和C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A和C的度數(shù)，即可判斷出三角形的形狀．

解答：解：∵tanB+tanC+

3

tanBtanC=

3

，且A+B+C=180°，
∴

tanB+tanC

1-tanBtanC

=

3

，即tan(B+C)=-tanA=

3

，
∴tanA=-

3

，
∵0＜A＜π，∴∠A=120°，
∵

3

tanA+

3

tanB+1=tanAtanB，
∴

tanB+tanA

1-tanBtanA

=-

3

3

即tan(B+A)=-tanC=-

3

3

，
∴tanC=

3

3

，
∵0＜C＜π，∴∠C=30°，
∴∠B=180°-120°-30°=30°，即∠B=∠C，
∴AB=AC，
則△ABC是頂角為120°的等腰三角形．

點評：此題考查了三角形形狀的判定，要到的知識有兩角和與差的正切函數(shù)公式、誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)值，以及等腰三角形的判別方法，其中靈活運用公式把已知的兩等式進行三角函數(shù)的恒等變形，得到A和C的度數(shù)，進而得到B的度數(shù)是解本題的關(guān)鍵．