Question

函數(shù)f（x）=

ax2+1，x≥0 (a2-1) eax，x＜0

在（-∞，+∞）上單調(diào)，則a的取值范圍是（　�。�

• A、（-∞，-

  2

  ]∪（1，

  2

  ]
• B、[-

  2

  ，-1）∪[

  2

  ，+∞）
• C、（1，

  2

  ]
• D、[

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：分情況討論函數(shù)的單調(diào)性①當(dāng)函數(shù)在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減時(shí)，分區(qū)間使函數(shù)在每個(gè)區(qū)間上都單調(diào)遞減，再保證（a²-1）e^a×0≥a×0²+1，解出a的范圍去交集即可．②當(dāng)函數(shù)在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增時(shí)，類(lèi)比單調(diào)遞減求解即可．最后將上面a的范圍去并集即可得到答案．

解答：解：當(dāng)函數(shù)在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減時(shí)，
當(dāng)x≥0時(shí)f（x）=ax²+1是單調(diào)遞減函數(shù)，所以a＜0．
當(dāng)x＜0時(shí)f（x）=（a²-1）e^ax是單調(diào)遞減函數(shù)，所以f′（x）=a（a²-1）e^ax≤0
因?yàn)閍＜0，所以a≤-1．
當(dāng)a=-1時(shí)f（x）=0不具有單調(diào)性，所以a=-1舍去．所以a＜-1．
又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，所以（a²-1）e^a×0≥a×0²+1解得a≤-

2

或a≥

2

．
由以上可得a≤-

2

．
當(dāng)函數(shù)在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增時(shí)，
當(dāng)x≥0時(shí)f（x）=ax²+1是單調(diào)遞增函數(shù)，所以a＞0．
當(dāng)x＜0時(shí)f（x）=（a²-1）e^ax是單調(diào)遞增函數(shù)，所以f′（x）=a（a²-1）e^ax≥0
因?yàn)閍＞0，所以a≥1．
當(dāng)a=1時(shí)f（x）=0不具有單調(diào)性，所以a=1舍去．所以a＞1．
又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)增減，所以（a²-1）e^a×0≤a×0²+1解得-

2

≤a≤

2

．
由以上可得1＜a≤

2

．
綜上所述可得a≤-

2

或1＜a≤

2

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：解決這種分段函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的關(guān)鍵是先分區(qū)間保證函數(shù)單調(diào)遞減或遞增，再保證最值之間滿(mǎn)足大小關(guān)系即可．