Question

如圖，A，B是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右頂點，橢圓C的離心率為

1

2

，右準線l的方程為x=4．
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)M是橢圓C上異于A，B的一點，直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓記為⊙k．
（i）若M恰好是橢圓C的上頂點，求⊙k截直線PB所得的弦長；
（ii）設(shè)⊙k與直線MB交于點Q，試證明：直線PQ與x軸的交點R為定點，并求該定點的坐標．

Answer 1

分析：（I）由離心率為

1

2

，得

c

a

=

1

2

，由右準線l的方程為x=4，得

a2

c

=4．再根據(jù)b²=a²-c²聯(lián)立方程組解出即可；
（II）（i）由條件易求直線AM的方程，從而可得P點坐標，進而可求得⊙k的方程，求出圓心到直線PB的距離，利用勾股定理即可求得弦長一半；（ii）設(shè)M（x₀，y₀）（y₀≠0），可表示出直線AM的方程，進而表示出P的坐標，由MB⊥PR可求得直線PR的方程，令y=0即可得打點R的橫坐標，再根據(jù)點M在橢圓上即可求得x_R值，從而可證明結(jié)論；

解答：解：（I）由題意得，

c a = 1 2 a2 c =4

，解得

a=2 c=1

，又b²=a²-c²=3，
故所求橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）（i）因為M（0，

3

），所以直線AM的方程為y=

3

2

x+

3

，
則點P的坐標為P（4，3

3

），從而⊙k的方程為(x-2)2+(y-2

3

)2=7，其圓心為（2，2

3

），半徑為

7

，
又直線PB的方程為3

3

x-2y-6

3

=0，
故圓心到直線PB的距離為

4 3

31

，從而截直線PB所得的弦長為2

7-( 4 3 31 )2

=

26 31

31

；
（ii）證明：設(shè)M（x₀，y₀）（y₀≠0），則直線AM的方程為y=

y0

x0+2

(x+2)，則點P的坐標為P（4，

6y0

x0+2

），
又直線MB的斜率為K_MB=

y0

x0-2

，而MB為直徑，所以MB⊥PR，所以KPR=-

x0-2

y0

，從而直線PR的方程為y-

6y0

x0+2

=-

x0-2

y0

(x-4)，
令y=0，得點R的橫坐標為xR=4+

6y02

x02-4

，
又點M在橢圓上，所以

x02

4

+

y02

3

=1，即y02=

3(4-x02)

4

，故x_R=4-6×

3

4

=-

1

2

，
所以直線PQ與x軸的交點R為定點，且該定點的坐標為（-

1

2

，0）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解及直線方程求法，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力，綜合性強，有一定難度．