Question

已知函數(shù)f(x)=loga

1-mx

x+1

（a＞0，a≠1，m≠-1），是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)．
（I）求f（0）的值和實數(shù)m的值；
（II）當m=1時，判斷函數(shù)f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性，并給出證明；
（III）若f(

1

2

)＞0且f（b-2）+f（2b-2）＞0，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）直接把0代入即可求出f（0）的值；再結(jié)合f（-x）+f（x）=0對定義域內(nèi)的所有自變量成立即可求出實數(shù)m的值；
（II）先研究真數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷函數(shù)f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性；
（III）先根據(jù)f(

1

2

)＞0得到a的范圍；再結(jié)合其為奇函數(shù)把f（b-2）+f（2b-2）＞0轉(zhuǎn)化為f（b-2）＞f（2-2b），結(jié)合第二問的單調(diào)性即可求出實數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（I）∵f（0）=log_a¹=0．
因為f（x）是奇函數(shù)，
所以：f（-x）=-f（x）⇒f（-x）+f（x）=0
∴l(xiāng)og_a 

mx+1

-x+1

+log_a

1-mx

x+1

=0；
∴l(xiāng)og_a 

mx+1

-x+1

•

1-mx

x+1

=0⇒

mx+1

-x+1

•

1-mx

x+1

=1，
即∴1-m²x²=1-x²對定義域內(nèi)的x都成立．∴m²=1．
所以m=1或m=-1（舍）
∴m=1．
（II）∵m=1
∴f（x）=log_a 

1-x

x+1

；
設(shè)t=

1-x

x+1

=

-(x+1)+2

x+1

=-1+

2

x+1

設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，則t1-t2=

2

x1+1

-

2

x2+1

=

2(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

∵-1＜x₁＜x₂＜1∴x₂-x₁＞0，（x₁+1）（x₂+1）＞0
∴t₁＞t₂．
 當a＞1時，log_at₁＞log_at₂，
即f（x₁）＞f（x₂）．
∴當a＞1時，f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．
當0＜a＜1時，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴當0＜a＜1時，f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)．
（III）由f（b-2）+f（2b-2）＞0
得f（b-2）＞-f（2b-2），
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
∴f（b-2）＞f（2-2b）
f(

1

2

)=loga

1

3

＞0，
∴0＜a＜1
由（II）得f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)
∴

b-2＞2-2b -1＜b-2＜1 -1＜2b-2＜1

∴

4

3

＜b＜

3

2

∴b的取值范圍是(

4

3

，

3

2

)

點評：本題主要考察對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用．本題第二問涉及到復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循原則是：同增異減．