Question

設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上.
（1）若橢圓的焦距為1，求橢圓的方程；
（2）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線交軸與點(diǎn)，并且，證明：當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)在某定直線上.

Answer 1

（1）；（2）詳見(jiàn)解析.

試題分析：（1）由橢圓的焦距為，可得，又由，從而可以建立關(guān)于的方程，即可解得，因此橢圓的方程為；（2）根據(jù)題意，可設(shè)，條件中關(guān)于的約束只有及在橢圓上，因此需從即為出發(fā)點(diǎn)建立，滿(mǎn)足的關(guān)系式，由題意可得直線的斜率，直線的斜率，
故直線的方程為，當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)的坐標(biāo)為,
故直線的斜率為，因此，化簡(jiǎn)得，又由點(diǎn)在橢圓上，可得，即點(diǎn)在直線上.
試題解析：（1）∵焦距為1，∴，∴，
故橢圓的方程為；
（2）設(shè)，其中，由題設(shè)知，
則直線的斜率，直線的斜率，
故直線的方程為，當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)的坐標(biāo)為,
∴直線的斜率為，
∵，∴，化簡(jiǎn)得
將上式代入橢圓的方程，由于在第一象限，解得，即點(diǎn)在直線上.