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        1. 已知函數(shù) f(x)=
          1
          2
          x2-2alnx+(a-2)x
          ,a∈R.
          (Ⅰ)當(dāng) a=1時(shí),求函數(shù) f(x)的最小值;
          (Ⅱ)當(dāng)a<0時(shí),討論函數(shù) f(x)的單調(diào)性;
          (Ⅲ)是否存在實(shí)數(shù)a,對(duì)任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有
          f(x2)-f(x1)
          x2-x1
          >a
          恒成立,若存在求出a的取值范圍,若不存在,說明理由.
          分析:(Ⅰ)把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式,求導(dǎo)后解出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段,判出在各區(qū)間段內(nèi)的單調(diào)性,從而的導(dǎo)函數(shù)的最小值;
          (Ⅱ)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),根據(jù)a的不同取值對(duì)函數(shù)定義域分段,由函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷原函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的單調(diào)性;
          (Ⅲ)在假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使得對(duì)任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有
          f(x2)-f(x1)
          x2-x1
          >a
          恒成立的前提下,把問題轉(zhuǎn)化為(x2)-ax2>f(x1)-ax1恒成立,然后構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-ax,利用導(dǎo)函數(shù)求出使函數(shù)g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)的a的取值范圍.
          解答:解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),
          f(x)=
          1
          2
          x2-2alnx+(a-2)x
          ,
          當(dāng)a=1時(shí),f(x)=
          1
          2
          x2-2lnx-x
          ,
          f(x)=x-
          2
          x
          -1=
          x2-x-2
          x
          =
          (x+1)(x-2)
          x

          ∴當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f'(x)<0,f(x)為減函數(shù);
          當(dāng)x∈(2,+∞),f'(x)>0,f(x)為增函數(shù).
          ∴f(x)在x=2時(shí)取得最小值,其最小值為f(2)=-2ln2.
          (Ⅱ)∵f′(x)=x-
          2a
          x
          +(a-2)=
          x2+(a-2)x-2a
          x
          =
          (x-2)(x+a)
          x
          ,
          ∴(1)當(dāng)-2<a<0時(shí),若x∈(0,-a),f'(x)>0,f(x)為增函數(shù);
          若x∈(-a,2),f'(x)<0,f(x)為減函數(shù);
          若x∈(2,+∞),f'(x)>0,f(x)為增函數(shù).
          (2)當(dāng)a=-2時(shí),在(0,+∞)上f(x)≥0,f(x)為增函數(shù);
          (3)當(dāng)a<-2時(shí),若x∈(0,2),f'(x)>0,f(x)為增函數(shù);
          若x∈(2,-a),f'(x)<0,f(x)為減函數(shù);
          若x∈(-a,+∞),f'(x)>0,f(x)為增函數(shù).
          (Ⅲ)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使得對(duì)任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有
          f(x2)-f(x1)
          x2-x1
          >a
          恒成立,
          不妨設(shè)0<x1<x2,只要
          f(x2)-f(x1)
          x2-x1
          >a
          ,即:f(x2)-ax2>f(x1)-ax1
          令g(x)=f(x)-ax,只要 g(x)在(0,+∞)為增函數(shù)即可.
          又函數(shù)g(x)=
          1
          2
          x2-2alnx-2x

          考查函數(shù)g′(x)=x-
          2a
          x
          -2=
          x2-2x-2a
          x
          =
          (x-1)2-1-2a
          x

          要使g'(x)≥0在(0,+∞)恒成立,只要-1-2a≥0,即a≤-
          1
          2

          故存在實(shí)數(shù)a∈(-∞,-
          1
          2
          ]
          ,對(duì)任意的 x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,
          f(x2)-f(x1)
          x2-x1
          >a
          恒成立.
          點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了導(dǎo)數(shù)在最大值最小值中的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,訓(xùn)練了利用構(gòu)造函數(shù)法求參數(shù)的取值范圍,屬難題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          3x+5,(x≤0)
          x+5,(0<x≤1)
          -2x+8,(x>1)
          ,
          求(1)f(
          1
          π
          ),f[f(-1)]
          的值;
          (2)若f(a)>2,則a的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=
          (1-3a)x+10ax≤7
          ax-7x>7.
          是定義域上的遞減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
          A、(
          1
          3
          ,1)
          B、(
          1
          3
          1
          2
          ]
          C、(
          1
          3
          ,
          6
          11
          ]
          D、[
          6
          11
          ,1

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          |x-1|-a
          1-x2
          是奇函數(shù).則實(shí)數(shù)a的值為
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          2x-2-x2x+2-x

          (1)求f(x)的定義域與值域;
          (2)判斷f(x)的奇偶性并證明;
          (3)研究f(x)的單調(diào)性.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          x-1x+a
          +ln(x+1)
          ,其中實(shí)數(shù)a≠1.
          (1)若a=2,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
          (2)若f(x)在x=1處取得極值,試討論f(x)的單調(diào)性.

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