Question

已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且公比不等于1，數(shù)列對任意正整數(shù)n，均有： 成立_；

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和；

(2)在數(shù)列中依次取出第1項(xiàng)，第2項(xiàng)，第4項(xiàng)，第8項(xiàng)，……，第項(xiàng)，……，組成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；

（3）對（1）（2）中的 _、，當(dāng)時(shí)，比較與的大小。

Answer 1

解：（I）設(shè)公比為 ……………………2分 

代入得

即∵，∴，

∴∴是等差數(shù)列   ……………………4分 

=2   ∴   …………6分 

（Ⅱ）

……………………8分 

（3）時(shí)，時(shí)，

；猜測時(shí)，            …………10分 

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下

（1）時(shí)，（已證）

（2）假設(shè)時(shí)不等式成立，即 ……………………12分 

時(shí)，

又

∴

即時(shí)，不等式成立。

由（1）（2）知，當(dāng)時(shí)， ……………14分