Question

(本題滿分10分)

拋物線(p>0)的準(zhǔn)線方程為，該拋物線上的點到其準(zhǔn)線的距離與到定點N的距離都相等，以N為圓心的圓與直線 都相切。

（Ⅰ）求圓N的方程；

（Ⅱ）是否存在直線同時滿足下列兩個條件，若存在，求出的方程；若不存在請說明理由.

① 分別與直線交于A、B兩點，且AB中點為；

② 被圓N截得的弦長為．

Answer 1

(本題滿分10分)

（Ⅰ）因為拋物線的準(zhǔn)線的方程為，

所以，根據(jù)拋物線的定義可知點N是拋物線的焦點，則定點N的坐標(biāo)為．

所以 圓N的方程．                              3分

（Ⅱ）假設(shè)存在直線滿足兩個條件，顯然斜率存在，

設(shè)的方程為，,

以N為圓心，同時與直線 相切的圓N的半徑為，    5分

方法1：因為被圓N截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離等于1，

即，解得，

當(dāng)時，顯然不合AB中點為的條件，矛盾！

當(dāng)時，的方程為 ，                          7分

由，解得點A坐標(biāo)為，

由，解得點B坐標(biāo)為，

顯然AB中點不是，矛盾！  所以不存在滿足條件的直線．        10分

方法2：假設(shè)A點的坐標(biāo)為，

因為AB中點為，所以B點的坐標(biāo)為， 

又點B 在直線上，所以，    

所以A點的坐標(biāo)為，直線的斜率為4，

所以的方程為，                                      7分

圓心N到直線的距離，  

因為被圓N截得的弦長為2，所以圓心到直線的距離等于1，矛盾！

所以不存在滿足條件的直線．                                     10分