Question

已知冪函數(shù)y=x^p-3（p∈N₊）的圖象關于y軸對稱，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，求滿足(a+1)

p

3

＜(3-2a)

p

3

的a的取值范圍．

Answer 1

分析：利用冪函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)判斷出指數(shù)小于0，由圖象關于y軸對稱得到指數(shù)是偶數(shù)，求出p的值；利用冪函數(shù)的單調性將不等式轉化為一次不等式，求出解集．

解答：解：由冪函數(shù)y=x^p-3（p∈N₊）在（0，+∞）上是減函數(shù)，得p-3＜0，即p＜3；
又冪函數(shù)y=x^p-3（p∈N₊）的圖象關于y軸對稱，
∴p-3為偶數(shù)，
∴正整數(shù)p=1．
所以不等式(a+1)

p

3

＜(3-2a)

p

3

即為(a+1)

1

3

＜(3-2a)

1

3

；
又因為

1

3

＞0，
所以a+1＜3-2a，解得a＜

2

3

；
故a的取值范圍是(-∞，

2

3

)．

點評：本題考查冪函數(shù)的性質：冪函數(shù)奇、偶性與冪指數(shù)有關、冪函數(shù)的單調性與冪指數(shù)有關．