Question

某工廠有一段舊墻長14m，現(xiàn)準(zhǔn)備利用這段舊墻為一面建造平面圖形為矩形，面積為126m²的廠房，工程條件是：①建1m新墻的費(fèi)用為a元；=2 ②修1m舊墻的費(fèi)用為

a

4

元；=3 ③拆去1m的舊墻，用可得的建材建1m的新墻的費(fèi)用為

a

2

元，經(jīng)討論有兩種方案：
（1）利用舊墻一段x m（0＜x＜14）為矩形一邊；
（2）矩形廠房利用舊墻的一面邊長x≥14；
問如何利用舊墻建墻費(fèi)用最��？試比較（1）（2）兩種方案哪個(gè)更好．

Answer 1

分析：根據(jù)題意將實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型建立起來是解決本題的關(guān)鍵．利用兩種不同的方案分別給出費(fèi)用的表達(dá)式，通過比較大小確定出哪個(gè)方案更好．

解答：解：（1）方案：修舊墻費(fèi)用為x•

a

4

元，拆舊墻造新墻費(fèi)用為（14-x）•

a

2

，
其余新墻費(fèi)用：(2x+

2×126

x

-14)a
∴總費(fèi)用y=7a(

x

4

+

36

x

-1)（0＜x＜14）
∴y=7a(

x

2

-

6

x

)2+35a≥35a，當(dāng)x=12時(shí)，y_min=35a；
（2）方案，利用舊墻費(fèi)用為14•

a

4

=

7a

2

（元），建新墻費(fèi)用為(2x+

252

x

-14)a（元）
總費(fèi)用為：y=2a(x+

126

x

)-

21

2

a（x≥14）
設(shè)f(x)=x+

126

x

(x≥14)，則f′(x)=1-

126

x2

=

x2-126

x2

，
當(dāng)x≥14時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，∴f（x）_min=f（14）=35.5a．
由35a＜35.5a知，采用（1）方案更好些．
答：采用（1）方案更好些．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用問題，考查建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的意識(shí)，通過建立的模型選擇合適的方法求解相應(yīng)的最值，通過最值之間的關(guān)系比較進(jìn)行選擇．突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值．