Question

已知函數(shù)，，，其中且.
（I）求函數(shù)的導函數(shù)的最小值；
（II）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間及極值；
（III）若對任意的，函數(shù)滿足，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

解：（I），其中.
因為，所以，又，所以，
當且僅當時取等號，其最小值為. ……………………………4分
（II）當時，，.
………………………………………………………..6分
的變化如下表：

		0		0

所以，函數(shù)的單調增區(qū)間是，；單調減區(qū)間是.
函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值.
（III）由題意，.
不妨設，則由得.  ……………12分
令，則函數(shù)在單調遞增.
在恒成立.
即在恒成立.
因為，因此，只需.
解得. 
故所求實數(shù)的取值范圍為

本試題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。