Question

已知數列{a_n}為公差大于0的等差數列，S_n為其前n項和，且a₁a₆=21，S₆=66．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足，求{b_n}的前n項和T_n；
（3）若數列{c_n}是等差數列，且c_n=，求常數p．

Answer 1

【答案】分析：（1）由 S₆=66 求出a₁+a₆=22，再由a₁a₆=21，公差大于0可得 a₁=1，a₆=21，求出公差d=4，可得數列{a_n}的通項公式．
（2）先求出=x⁴ⁿ⁺⁹，分x=0時、x=1時、x≠0 且x≠-1時三種情況，分別求得，{b_n}的前n項和 T_n的值，
綜合可得結論．
（3）先求出 S_n=2n²-n，可得c_n==．再由c₁+c₃=2c₂，由此解得 p的值．
解答：解：（1）∵S₆=66=，∴a₁+a₆=22．再由a₁a₆=21
可得 a₁ 和a₆是方程 x²-22x+21=0的兩個根，再由公差大于0可得 a₁=1，a₆=21，
由于a₆=21=a₁+5d，故公差d=4，故 a_n =4n-3．
（2）=x⁴ⁿ⁺⁹，
當x=0時，=0，{b_n}的前n項和 T_n=0．
當x=1時，=1，{b_n}的前n項和 T_n=n．
當x=-1時，=-1，{b_n}的前n項和T_n=-n．
當x≠0 且x≠±1時，，{b_n}的前n項和 T_n=．
綜合可得，{b_n}的前n項和．
（3）∵S_n=n×1+=2n²-n，∴c_n==． 
∵{c_n}是等差數列，∴c₁+c₃=2c₂，即 +=2×，
由此解得 p=0，或 p=-．
點評：本題主要考查等差關系的確定，等差數列的定義和性質，等差數列的通項公式，前n項和公式的應用，屬于中檔題．