Question

(本題滿分14分)

設(shè)函數(shù)

⑴當(dāng)且函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)時，求的取值范圍；

⑵若函數(shù)在處取得極值，試用表示；

⑶在⑵的條件下，討論函數(shù)的單調(diào)性。

 

Answer 1

【答案】

（1）。（2） ；

（3）當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的運用。

⑴因為當(dāng)且函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)時，則可知導(dǎo)函數(shù)恒大于等于零，得到的取值范圍；

⑵若函數(shù)在處取得極值，則求解導(dǎo)數(shù)可知導(dǎo)函數(shù)在該點的到數(shù)值為零。

⑶在⑵的條件下，，然后對于參數(shù)a分情況得到函數(shù)的單調(diào)性。

解：（1）當(dāng)時，函數(shù)，其定義域為。

。函數(shù)是增函數(shù)，

當(dāng)時，恒成立。   ……………………………………2分

即當(dāng)時，恒成立。

當(dāng)時，，且當(dāng)時取等號。

的取值范圍為�！�……………………………………………………………4分

（2）,且函數(shù)在處取得極值，

此時 ………………………………………………6分

當(dāng)，即時，恒成立，此時不是極值點。

  ………………………………………………………………………8分

（3）由得

①當(dāng)時，當(dāng)時，

當(dāng)時，

當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為�！�…………………10分

②當(dāng)時，當(dāng)

當(dāng)

當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。

③當(dāng)時，當(dāng)

當(dāng)                

當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。

……………………………………………………13分

綜上所述：當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為。

………………………………………………………………14分