Question

若等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足

Sn

S2n

為常數(shù)，則稱該數(shù)列為S數(shù)列．
（Ⅰ）判斷a_n=4n-2是否為S數(shù)列？并說明理由；
（Ⅱ）若首項(xiàng)為a₁的等差數(shù)列{a_n}（a_n不為常數(shù)）為S數(shù)列，試求出其通項(xiàng)公式．

Answer 1

（Ⅰ）由a_n=4n-2，得a₁=2，d=4，

Sn

S2n

=

2n+ 1 2 n(n-1)4

2n•2+ 1 2 •2n(2n-1)4

=

1

4

，
所以它為S數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}，公差為d，則

Sn

S2n

=

a1n+ 1 2 n(n-1)d

2a1n+ 1 2 •2n(2n-1)d

=k（常數(shù)），
∴2a₁n+n²d-nd=4a₁kn+4n²dk-2nkd，化簡得d（4k-1）n+（2k-1）（2a₁-d）=0①，
由于①對(duì)任意正整數(shù)n均成立，
則

d(4k-1)=0 (2k-1)(2a1-d)=0

解得：

d=2a1≠0 k= 1 4 .

，
故存在符合條件的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為：a_n=（2n-1）a₁，其中a₁≠0．