Question

選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
直線l方程是x+2y+3=0，曲線C的極坐標方程是ρ²-2

2

ρsin（θ+45°）-7=0．
（I）分別求直線l和曲線C的參數(shù)方程；
（II）求直直線l和曲線C交點的直角坐標．

Answer 1

分析：（I）將直線l化成斜截式，得到它的斜率，再取直線上點M（-1，-1），可得直線l上一點P坐標的參數(shù)形式，即可化為直線l的參數(shù)方程；對于曲線C，先將其化為直角坐標方程，得到它是以（1，1）為圓半徑為3的圓，由此不難得到曲線C的參數(shù)方程；
（II）由（I）的結(jié)論，將直線l和曲線C的直角坐標方程組成方程組，聯(lián)解即得方程組的解，即為直線l和曲線C交點的直角坐標．

解答：解：（I）直線l化成斜截式y(tǒng)=-

1

2

x-

3

2

，再令x=-1，得y=-1，
可得直線l為經(jīng)過點M（-1，-1），斜率為-

1

2

的直線
∴直線l上一點P坐標可寫成P（-1+2t，-1-t）
可得直線l的參數(shù)方程為

x=-1+2t y=-1-t

，（t為參數(shù)），…（2分）
對于曲線C：ρ²-2

2

ρsin（θ+45°）-7=0，即ρ²-2（ρsinθ+ρcosθ）-7=0．
∵ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，ρcosθ=x，
∴曲線C的直角坐標方程為：x²+y²-2x-2y-7=0，化成標準方程為（x-1）²+（y-1）²=9
得曲線C是以（1，1）為圓半徑為3的圓，因此令x-1=3cosθ，y-1=3sinθ
曲線C的參數(shù)方程為：

x=1+3cosθ y=1+3sinθ

（θ為參數(shù)）          …（5分）
（II）直線l的普通方程為x+2y+3=0，…①
曲線C普通方程為（x-1）²+（y-1）²=9，…②
聯(lián)解得，

x=1 y=-2

或

x=- 7 5 y=- 4 5

∴直線l和曲線C交點的直角坐標為A（1，-2），B（-

7

5

，-

4

5

）              …（10分）

點評：本題以直線與圓的位置關系作為載體，考查了直線的參數(shù)方程、圓的極坐標方程與普通方程的互化等知識，屬于基礎題．