Question

某縣位于沙漠邊緣，當(dāng)?shù)鼐用衽c風(fēng)沙進(jìn)行著艱苦的斗爭.到2000年年底全縣的綠地已占全縣總面積的30%，從2001年起，市政府決定加大植樹造林、開辟綠地的力度，每年有16%的原沙漠地帶變成綠地，但同時(shí)，原有綠地的4%又被侵蝕，變成了沙漠.

（1）在這種政策下，是否有可能在將來的某一年年底，全縣綠地面積超過總面積的80%？

（2）至少在哪年年底，該縣的綠地面積才能超過全縣總面積的60%？

Answer 1

解：（1）設(shè)全縣面積為1，2000年年底該縣綠地面積為a₀,2001年年底該縣綠地面積為a₁,以此類推.由題意可知a₀=30%=,a_n+1=(1-4%)a_n+16% (1-a_n)=a_n+,所以，當(dāng)n≥1時(shí)，a_n=a_n-1+.兩式作差得a_n+1-a_n=(a_n-a_n-1).又a₁-a₀=(a₀+)-a₀=-a₀=,所以，數(shù)列{a_n-a_n-1}是以a₁-a₀=為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以a_n=(a_n-a_n-1)+(a_n-1-a_n-2)+…+(a₁-a₀)+a₀=+=-·（）ⁿ.

由上式可知：對(duì)任意的自然數(shù)n，均有a_n＜,即全縣綠地面積不可能超過總面積的80%.

（2）令a_n＞,得（）ⁿ＜,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：g(n)=()ⁿ隨n的增大而單調(diào)遞減，因此，我們只需從n=0開始驗(yàn)證，直到找到第一個(gè)使得（）ⁿ＜的自然數(shù)n，此時(shí)n即為所求.

驗(yàn)證可知：當(dāng)n=0,1,2,3,4時(shí)，均有（）ⁿ＞,而當(dāng)n=5時(shí)，（）⁵=0.327 68＜,由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：當(dāng)n≥5時(shí)，均有（）ⁿ＜,所以，從2000年年底開始，5年后，即2005年年底，全縣綠地面積才開始超過總面積的60%.