Question

要建造一個(gè)容積為2000m³，深為5m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋蓄水池，池壁的造價(jià)為95元/m²，池底的造價(jià)為135元/m²，若水池底的一邊長(zhǎng)為xm，水池的總造價(jià)為y元．
（1）把水池總造價(jià)y表示為x的函數(shù)y=f（x），并寫出函數(shù)的定義域．
（2）試證明：函數(shù)y=f（x）當(dāng)x∈（0，20]時(shí)是減函數(shù)，當(dāng)x∈[20，+∞）時(shí)是增函數(shù)
（3）當(dāng)水池底的一邊長(zhǎng)x為多少時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低造價(jià)是多少．

Answer 1

分析：（1）水池總造價(jià)等于池底造價(jià)+池壁造價(jià)，代入整理即可得到函數(shù)y=f（x），同時(shí)可得函數(shù)的定義域；
（2）利用單調(diào)性的證題步驟：取值，作差，變形，定號(hào)，下結(jié)論即可．設(shè)x₁，x₂＞0且0＜x₂＜x₁≤20，作差變形可得f（x₁）＜f（x₂），從而當(dāng)x∈（0，20]時(shí)，函數(shù)y=f（x）是減函數(shù)；同理x∈[20，+∞）時(shí)，函數(shù)y=f（x）是增函數(shù)．
（3）利用（2）中函數(shù)的單調(diào)性，即可得結(jié)論．

解答：（1）解：由池底的一邊長(zhǎng)為xm，則池寬為

400

x

m，池底面積為400m²，
根據(jù)水池總造價(jià)等于池底造價(jià)+池壁造價(jià)，可得水池總造價(jià)y為：y=135×400+(x+

400

x

)×5×2×95=54000+950(x+

400

x

)（x＞0）
（2）證明：由y=f(x)=54000+950(x+

400

x

)（x＞0）
設(shè)x₁，x₂＞0且0＜x₂＜x₁≤20
∴f(x1)-f(x2)=

950(x1-x2)(x1x2-400)

x1x2

，
∵x₁，x₂＞0且0＜x₂＜x₁≤20
∴x₁-x₂＞0，x₁x₂-400＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴當(dāng)x∈（0，20]時(shí)，函數(shù)y=f（x）是減函數(shù)；
同理x∈[20，+∞）時(shí)，函數(shù)y=f（x）是增函數(shù)．
（3）解：由（2）知當(dāng)x=20，函數(shù)y=f（x）取得最小值f（20）=92000．
答：當(dāng)水池的長(zhǎng)x為20m時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低造價(jià)為92000元．

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，體現(xiàn)了學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題．