Question

定義域均為R的奇函數(shù)f（x）與偶函數(shù)g（x）滿足f（x）+g（x）=10^x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）與g（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的反函數(shù)；
（Ⅲ）證明：g（x₁）+g（x₂）≥2g（）；
*（Ⅳ）試用f（x₁），f（x₂），g（x₁），g（x₂）表示f（x₁-x₂）與g（x₁+x₂）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意可得：f（x）+g（x）=10^x，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得：f（-x）+g（-x）=10^-x=-f（x）+g（x），進而結(jié)合兩個式子求出兩個函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）由（I）可得：f（x）=y=（10^x-），即可得到：10^x=y±，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：x=lg（y+），進而得到f（x）的反函數(shù)．
（Ⅲ）由（I）可得：2g（）與g（x₁）+g（x₂）的表達式，再利用基本不等式把g（x₁）+g（x₂）進行化簡整理即可得到答案．
（Ⅳ）由（I）可得f（x₁）、f（x₂）、g（x₁）、g（x₂）、f（x₁-x₂）與g（x₁+x₂）的表達式與結(jié)構(gòu)特征，進而得到f（x₁-x₂）=f（x₁）g（x₂）-g（x₁）f（x₂），g（x₁+x₂）=g（x₁）g（x₂）-f（x₁）f（x₂）．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得：f（x）+g（x）=10^x ①，
∴f（-x）+g（-x）=10^-x，
∵f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），
∴-f（x）+g（x）=10^-x ②，
由①，②解得：f（x）=（10^x-），g（x）=（10^x+）．
（Ⅱ）由（I）可得：f（x）=y=（10^x-），
∴（10^x）²-2y?10^x-1=0，解得10^x=y±，
∵10^x＞0，
∴10^x=y+，
∴x=lg（y+），
∴f（x）的反函數(shù)為f^-1（x）=lg（x+）．x∈R．
（Ⅲ）證明：由（I）可得：2g（）=+；
并且得到g（x₁）+g（x₂）=（+）+（+）=（+）+（）
≥+=+=2g（）；
∴g（x₁）+g（x₂）≥2g（）．
（Ⅳ）由（I）可得：f（x₁-x₂）=f（x₁）g（x₂）-g（x₁）f（x₂），g（x₁+x₂）=g（x₁）g（x₂）-f（x₁）f（x₂）．
點評：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，如函數(shù)的解析式，奇偶性，單調(diào)性等性質(zhì)，以及考查反函數(shù)等常規(guī)問題的處理方法，第（Ⅲ）問，第（Ⅳ）問把函數(shù)與不等式的證明，函數(shù)與指對式的化簡變形結(jié)合起來，此題綜合性較強，屬于難題，考查學生綜合應用知識的能力．