Question

(2007蘇錫常鎮(zhèn)四市模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/FONT>[0，1]，且同時(shí)滿足：①f(1)=3；②f(x)≥2對(duì)一切恒成立；③若，，，則有．

(1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值；

(2)試比較與的大��；

(3)某同學(xué)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，有f(x)＜2x＋2，由此他提出猜想：對(duì)一切，都有f(x)＜2x＋2，請(qǐng)你判斷此猜想是否正確，并說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)設(shè)，，， 則[0，1]， ∴． ∴． ∴． 則當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(0)≤f(x)≤f(1)． 在③中，令，得f(0)≤2， 由②得f(0)≥2，∴f(0)=2． ∴當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取得最小值為2； 當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取得最大值為3． (2)在③中，令， 得． 則． (3)對(duì)x(0，1]，總存在nN，滿足． 由(1)與(2)，得， 又． ∴f(x)＜2x＋2． 綜上所述，對(duì)任意，f(x)＜2x＋2恒成立．