Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），對(duì)任意正實(shí)數(shù)m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0，f（2）=-1
（1）求f（1）和f（

1

2

）的值；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法，對(duì)于任意正實(shí)數(shù)m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），可令m=n=1，先求出f（1），然后令 m=2，n=

1

2

，即可求出 f(

1

2

)的值；
（2）先在定義域內(nèi)任取兩個(gè)值x₁，x₂，并規(guī)定大小，然后判定出f（x₁），與f（x₂）的大小關(guān)系，根據(jù)單調(diào)增函數(shù)的定義可知結(jié)論；

解答：解：（1）令m=n=1，則f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0（2分）
令 m=2，n=

1

2

，則 f(1)=f(2×

1

2

)=f(2)+f(

1

2

)，
∴f(

1

2

)=f(1)-f(2)=1（4分）

（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1
∵當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0
∴f(

x2

x1

)＜0（6分）
f(x2)=f(x1×

x2

x1

)=f(x1)+f(

x2

x1

)＜f(x1)（9分）
所以f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)（10分）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，屬于中檔題．