Question

已知函數(shù)f（x）=（x-a）lnx，（a≥0）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，若直線(xiàn)y=2x+m與函數(shù)y=f（x）的圖象相切，求m的值；
（2）若f（x）在[1，2]上是單調(diào)減函數(shù)，求a的最小值；
（3）當(dāng)x∈[1，2e]時(shí)，|f（x）|≤e恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（e為自然對(duì)數(shù)的底）．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用直線(xiàn)y=2x+m與函數(shù)y=f（x）的圖象相切，求切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求m的值；
（2）利用f（x）在[1，2]上是單調(diào)減函數(shù)，可得f′(x)=lnx+1-

a

x

≤0在[1，2]上恒成立，分離參數(shù)，求最值，即可求得a的最小值；
（3）當(dāng)x∈[1，2e]時(shí)，|f（x）|≤e恒成立，等價(jià)于-e≤（x-a）lnx≤e，|f（x）|≤e恒成立，分離參數(shù)，求最值，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1
∵直線(xiàn)y=2x+m與函數(shù)y=f（x）的圖象相切，∴l(xiāng)nx+1=2，∴x=e
∵f（e）=e，∴切點(diǎn)為（e，e），∴m=-e；
（2）f′(x)=lnx+1-

a

x

∵f（x）在[1，2]上是單調(diào)減函數(shù)，
∴f′(x)=lnx+1-

a

x

≤0在[1，2]上恒成立
∴a≥xlnx+x在[1，2]上恒成立
令g（x）=xlnx+x，則g′（x）=lnx+2＞0
∴g（x）=xlnx+x在[1，2]上單調(diào)遞增
∴a≥g（2）=2ln2+2
∴a的最小值為2ln2+2；
（3）|f（x）|≤e等價(jià)于-e≤（x-a）lnx≤e
當(dāng)x=1時(shí)不等式恒成立
當(dāng)x∈（1，2e]時(shí)，-

e

lnx

≤x-a≤

e

lnx

∴x-

e

lnx

≤a≤x+

e

lnx

設(shè)h（x）=x+

e

lnx

，t（x）=x-

e

lnx

，則t（x）_max≤a≤h（x）_min，
由h′(x)=

xln2x-e

xln2x

，∵h(yuǎn)′（e）=0
令s（x）=xln²x-e，x∈[1，2e]，則s′（x）=ln²x+lnx＞0
∴h（x）在[1，2e]上單調(diào)遞增，∴h（x）_min=h（e）=2e，
∵t′（x）=1+

e

xln2x

＞0，∴t（x）在[1，2e]上單調(diào)遞增，
∴t（x）_max=t（2e）=2e-

e

ln2e

綜上，2e-

e

ln2e

≤a≤2e．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查恒成立問(wèn)題，分離參數(shù)求最值是關(guān)鍵．