Question

（本小題滿分14分）

   在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在第二象限、半徑為2的圓C與直線y=x相切于

坐標(biāo)原點(diǎn)O.橢圓與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10。

  （1）求圓C的方程；

  （2）試探究圓C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使Q到橢圓的右焦點(diǎn)F的距離等于線段

OF的長(zhǎng)，若存在求出Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）略

（2）存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q(，)，使得該點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離等于的長(zhǎng)

【解析】(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(m，n)（m<0，n>0）,則該圓的方程為(x-m)²+(y-n)²=8

已知該圓與直線y=x相切，那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑，則

=2

即=4       ①                              

又圓與直線切于原點(diǎn)，將點(diǎn)(0，0)代入得

m²+n²=8           ②

聯(lián)立方程①和②組成方程組解得

故圓的方程為(x+2)²+(y-2)²=8

(2)=5，∴a²=25，則橢圓的方程為      +      =1

其焦距c==4，右焦點(diǎn)為(4，0)，那么=4。

要探求是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使得該點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離等于的長(zhǎng)度4，我們可以轉(zhuǎn)化為探求以右焦點(diǎn)F為頂點(diǎn)，半徑為4的圓(x─4)²+y²=8與(1)所求的圓的交點(diǎn)數(shù)。通過聯(lián)立兩圓的方程解得x=，y=即存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q(，)，使得該點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離等于的長(zhǎng)。