Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0），F(xiàn)為焦點，設(shè)拋物線C上一點P(m，

3

4

)到焦點的距離為1，l為準(zhǔn)線，l與y軸的交點為H．
（I）求拋物線C方程；
（Ⅱ）設(shè)M是拋物線C上一點，E（0，4），延長ME，MF分別交拋物線C于點A，B兩點．若A，B，H三點共線，求點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（I）由拋物線的定義，結(jié)合P到焦點的距離為1建立關(guān)于p的方程，解出p=

1

2

即得拋物線C方程；
（II）設(shè)M（λ，λ²），由拋物線的性質(zhì)解出B（-

1

4λ

，

1

16λ2

）．求出H（0，-

1

4

），從而算出HB的方程，與拋物線聯(lián)解得出A（-λ，λ²），再由M、E、A三點共線求出λ的值，即可得到點M的坐標(biāo)．

解答：解：（I）∵拋物線C的焦點為（0，

p

2

）
∴P(m，

3

4

)到焦點的距離為1，即

p

2

+

3

4

=1，解之得p=

1

2

因此拋物線方程為x²=y；
（II）設(shè)M（λ，λ²），B（μ，μ²）
根據(jù)拋物線的性質(zhì)，可得λμ=-p²=-

1

4

，得μ=-

1

4λ

∴B（-

1

4λ

，

1

16λ2

），
結(jié)合點H（0，-

1

4

），得到直線HB的方程為y=-(

1

4λ

+λ)x-

1

4

聯(lián)解直線HB與拋物線x²=y方程，可得A（-λ，λ²）
∵M（λ，λ²）、E（0，4）、A（-λ，λ²）三點共線，
∴λ²=4，解之得λ=±2，
由此可得M（-2，4）或（2，4）．

點評：本題給出拋物線滿足的條件，求拋物線的方程和點M的坐標(biāo)．著重考查了拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．